Matematika SMA | Pertidaksamaan Linear Satu Variabel yang Memuat Nilai Mutlak

Hi, Sobat ISOMATH!

Di konten sebelumnya, kita sudah pernah membahas PLSV yang melibatkan Nilai Mutlak. Nah, sekarang kita akan membahas “Pertidaksamaan Linear Satu Variabel yang Melibatkan Nilai Mutlak”.

Masih ingatkah sobat tentang pertidaksamaan?

Pertidaksamaan dalam matematika adalah kalimat/pernyataan matematika yang menunjukkan perbandingan ukuran dua objek atau lebih. Notasi pada pertidaksamaan antara lain kurang dari (<), lebih dari (>), kurang dari atau sama dengan (≤), dan lebih dari atau sama dengan (≥).

Lalu bagaimana dengan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel yang Melibatkan Nilai Mutlak?

Secara umum, PtLSV yang melibatkan nilai mutlak memenuhi sifat berikut.

Misal a ≥ 0 dan a, x bilangan real, maka

(i)   |x|≤ a jika dan hanya jika –a ≤ x ≤ a

(ii)  |x|≥ a jika dan hanya jika x ≥ a atau x ≤ –a

Selain sifat di atas, PtLSV yang melibatkan nilai mutlak juga memenuhi sifat:

|x|<|y| jika dan hanya jika x² < y²

Dalam menyelesaikan PtSLV yang melibatkan nilai mutlak, akan sangat membantu jika bentuk |ax + b| kita jabarkan menjadi seperti berikut.

Misal p ≥ 0 dan a, b, p, x bilangan real, maka

(i)   |ax+b|≤ p jika dan hanya jika –p ≤ ax+b ≤ p

(ii)  |ax+b|≥ p jika dan hanya jika ax+b ≤ –p atau ax+b ≥ p

 

Contoh Soal

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut!

1.  |x+7| < 9

Penyelesaian:

–9 < x+7 < 9

–9 – 7 < x + 7 – 7 < 9 – 7

–16 < x < 2

Jadi, HP = { x| –16 < x < 2}

 

2. |2x–1| ≥ 7

Penyelesaian:

Kasus 1

2x–1 ≤ –7

  2x ≤ –7 + 1

  2x ≤ –6

   x ≤ –3

Kasus 2

2x–1 ≥ 7

  2x ≥ 7 + 1

  2x ≥ 8

   x ≥ 4

Jadi, HP = { x| x ≤ –3 atau x ≥ 4}

 

3. |x+3| ≤ |2x–3|

Penyelesaian:

Soal di atas bisa diselesaikan dengan dua cara.

Alternatif Cara 1: menggunakan definisi

Untuk menyelesaikan soal ini, perhatikan definisi nilai mutlak.

 

Kasus 1: x < –3 ...(1)

–(x+3) ≤ –(2x–3)

  –x–3 ≤ –2x+3

–x+2x ≤ 3+3

     x ≤ 6 ... (2)

Dari (1) dan (2) diperoleh x < –3.

(x+3) ≤ –(2x–3)

 x+3 ≤ –2x+3

x+2x ≤ 3–3

  3x ≤ 0

      x ≤ 0 ... (2) 

   Dari (1) dan (2) diperoleh –3 ≤ x ≤ 0.

  

x+3 ≤ 2x–3

x–2x ≤ –3–3

    –x ≤ –6

      x ≥ 6 ... (2) 

Dari (1) dan (2) diperoleh x ≥ 6.

Menggabungkan kasus 1, 2, dan 3, diperoleh: 

HP={x | x ≤ 0 atau x ≥ 6}

Alternatif Cara 2: mengunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak

(|x|<|y| óx² < y²)

|x+3| ≤ |2x–3|

(x+3)² ≤ (2x–3)²

x² + 6x + 9 ≤ 4x² – 12x + 9

x² – 4x² + 6x + 12x + 9 – 9 ≤ 0

–3x² + 18x ≤ 0

–3x (x–6) ≤ 0

–3x = 0   atau  x–6 = 0

  x = 0            x = 6

HP={x | x ≤ 0 atau x ≥ 6}

4.  |3x+1| – |2x+4| < 10

Penyelesaian:

Kasus 1: x < –2 ...(1)

– (3x+1) + (2x+4) < 10

  –3x – 1 + 2x + 4 < 10

               –x < 10 –3

                –x < 7

                 x > –7 ...(2) 

Dari (1) dan (2) diperoleh –7 < x < –2.

 

– (3x+1) – (2x+4) < 10

  –3x – 1 – 2x – 4 < 10

              –5x < 10 + 5

              –5x < 15

                 x > –3 ...(2)

3x+1) – (2x+4) < 10

3x + 1 – 2x – 4 < 10

             x < 10 + 3

              x < 13 ...(2)

Menggabungkan kasus 1, 2, dan 3, diperoleh:

HP={x |–7 < x < 13}

Selengkapnya bisa ditonton di youtube channel isoMATH

 

Supaya kita terlatih dalam mengerjakan soal yang berkaitan dengan PtLSV yang melibatkan nilai mutlak, coba deh latihan soal berikut ini!

Siapkan alat tulis kalian dan kerjakan!

Latihan Soal

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak berikut ini!

Selamat mengerjakan J J J

Pengen tahu pembahasan latihan soal di atas?

Sobat bisa mengetahui pembahasannya hanya di youtube channel isoMATH

Terima kasih sudah berkunjung di blok ini. Semoga konten ini dapat bermanfaat bagi sobat semua.

Semangat belajar !!! J

 

Referensi

Noormandiri, B. K. 2016. Matematika Jilid 1 untuk SMA/MA Kelas X Kelompok Wajib Berdasarkan Kurikulum 2013 Edisi Revisi 2016. Jakarta: Erlangga.

Cunayah,C. & Etsa I. I. 2013. 1700 Bank Soal Bimbingan Pemantapan Matematika. Bandung: Yrama Widya.

https://id.wikipedia.org/wiki/Pertidaksamaan

IG     : @isomath.id